Erdősovy problémy · lis 2026 · Konečné výpočty

Erdősovy problémy: konečné kontroly, ne nové věty

Web Erdős Problems (erdosproblems.com) uvádí otevřené otázky z teorie čísel a kombinatoriky. U několika jsme spustili bezplatné lokální výpočty. Každý výpočet pokrývá konečný rozsah. Žádný z nich problém nedokazuje ani nevyvrací a žádný není nová věta.

Conceptual illustration generated with AI. Not experimental data or a depiction of the actual equipment.

Problém 699: centrální binomické koeficienty

Tvrzení, které jsme testovali: pro všechna 1 ≤ i < j ≤ n/2 existuje prvočíslo p ≥ i, které dělí C(n,i) i C(n,j).

Prošli jsme každé n do 255 667 a nenašli jsme žádný protipříklad. Kontrola přeskakuje většinu párů pomocí lemmatu, které jsme odvodili: pro největší prvočíslo q ≤ n je každý pár s i > n - q již pokryt q, přes Kummerovu větu. Důkaz je rozepsán v našich poznámkách. Skener jsme křížově ověřili proti přesnému výpočtu pro malá n a reprodukovali známé případy, kde jediné vyhovující prvočíslo je i. Jako nezávislou kontrolu pro tuto stránku jsme hrubou silou přepočítali všechna n ≤ 500: žádná porušení a případy rovnosti při n = 10, 16, 28 a 244 sedí.

Problém 942: mocná čísla mezi po sobě jdoucími čtverci

Nechť h(n) je počet mocných čísel (dělí-li prvočíslo p číslo m, pak p² dělí m) v intervalu [n², (n+1)²). Erdős se ptal, jak rychle může h(n) růst. Vypočítali jsme h(n) přesně pro každé n pod 3,1 × 10^9. Největší nalezená hodnota je h = 12, při n = 472 532 614 a třech dalších hodnotách n. Pro ty jsme vypsali všech 12 čísel v každém intervalu a každé rozložili samostatným programem: všechna jsou mocná a všechna leží v intervalu.

Zatím největší nalezené h(n), při n, kde se každý nový rekord poprvé objeví. Hodnoty pro n do 10^7 pocházejí z úplného průchodu; rekordy 11 a 12 z rozšířeného průchodu pod 3,1 × 10^9. Zdroj: naše výpočetní záznamy, 9. listopadu 2026. Data jsou konzistentní s pomalým růstem a o konstantě v Erdősově otázce neříkají nic.

Menší kontroly

Problém 288: přesné prohledání párů disjunktních intervalů s krajními body do 1500 našlo jen tři známá řešení daného typu a žádná nová nad 250. Hledání předpokládalo disjunktní intervaly a omezilo součty pod 3.
Problém 273: přečetli jsme si stav poznání na fóru stránky a nepokračovali jsme v něm. Hledání jiných lidí jsou daleko před naším bezplatným dvoujádrovým počítačem.

Limity

Konečná kontrola nemůže rozhodnout tvrzení o všech n.
Toto jsou naše vlastní běhy. Nejsou recenzovány a nikdo jiný je nezávisle nereprodukoval.
Neověřili jsme, zda tyto rozsahy už někdo pokryl.
Další výpočty z této linie (například #993 a #939) jsou částečné a zatím nemají výsledky ke zveřejnění.

Kód a surové výstupy nejsou veřejně dostupné.