Erdős-Probleme · Nov 2026 · Endliche Berechnungen

Erdős-Probleme: endliche Prüfungen, keine neuen Sätze

Die Website Erdős Problems (erdosproblems.com) listet offene Fragen der Zahlentheorie und Kombinatorik. Wir haben zu einigen davon kostenlose lokale Berechnungen laufen lassen. Jede Berechnung deckt einen endlichen Bereich ab. Keine davon beweist oder widerlegt ein Problem, und keine ist ein neuer Satz.

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Problem 699: zentrale Binomialkoeffizienten

Die Aussage, die wir getestet haben: für alle 1 ≤ i < j ≤ n/2 gibt es eine Primzahl p ≥ i, die sowohl C(n,i) als auch C(n,j) teilt.

Wir haben jedes n bis 255.667 geprüft und kein Gegenbeispiel gefunden. Der Scan überspringt die meisten Paare mithilfe eines Lemmas, das wir hergeleitet haben: für die größte Primzahl q ≤ n ist jedes Paar mit i > n - q bereits durch q abgedeckt, über den Satz von Kummer. Der Beweis steht in unseren Notizen. Wir haben den Scanner für kleine n gegen exakte Berechnung gegengeprüft und die bekannten Fälle reproduziert, in denen die einzige gültige Primzahl gleich i ist. Als unabhängige Prüfung für diese Seite haben wir alle n ≤ 500 per Brute-Force neu berechnet: keine Verletzungen, und die Gleichheitsfälle bei n = 10, 16, 28 und 244 stimmen überein.

Problem 942: Powerful-Zahlen zwischen aufeinanderfolgenden Quadraten

Sei h(n) die Anzahl der Powerful-Zahlen (teilt eine Primzahl p die Zahl m, so teilt auch p² die Zahl m) in [n², (n+1)²). Erdős fragte, wie schnell h(n) wachsen kann. Wir haben h(n) für jedes n unter 3,1 × 10^9 exakt berechnet. Der größte gefundene Wert ist h = 12, bei n = 472.532.614 und drei weiteren Werten von n. Für diese haben wir die 12 Zahlen in jedem Intervall aufgelistet und jede mit einem separaten Programm faktorisiert: alle sind Powerful-Zahlen und alle liegen im Intervall.

Bisher größtes gefundenes h(n), jeweils beim n, an dem jeder neue Rekord erstmals auftritt. Werte für n bis 10^7 stammen aus einem vollständigen Scan; die Rekorde 11 und 12 aus dem erweiterten Scan unter 3,1 × 10^9. Quelle: unsere Rechenprotokolle, 9. November 2026. Die Daten sind mit langsamem Wachstum vereinbar und sagen nichts über die Konstante in Erdős' Frage aus.

Kleinere Prüfungen

Problem 288: eine exakte Suche über Paare disjunkter Intervalle mit Endpunkten bis 1500 fand nur die drei bekannten Lösungen dieses Typs und keine neue oberhalb von 250. Die Suche setzte disjunkte Intervalle voraus und begrenzte die Summen auf unter 3.
Problem 273: wir haben den Stand der Forschung im Forum der Seite gelesen und es nicht weiterverfolgt. Die Suchen anderer liegen weit vor unserem kostenlosen Zweikern-Computer.

Grenzen

Eine endliche Prüfung kann eine Aussage über alle n nicht entscheiden.
Dies sind unsere eigenen Läufe. Sie sind nicht begutachtet und wurden von niemandem unabhängig reproduziert.
Wir haben nicht geprüft, ob diese Bereiche bereits von jemandem abgedeckt wurden.
Weitere Berechnungen aus dieser Linie (zum Beispiel #993 und #939) sind partiell und haben noch keine berichtbaren Ergebnisse.

Code und Rohdaten sind nicht öffentlich verfügbar.