Problemas de Erdős: comprobaciones finitas, no teoremas nuevos

El sitio Erdős Problems (erdosproblems.com) recoge preguntas abiertas de teoría de números y combinatoria. Ejecutamos cálculos locales gratuitos sobre algunas. Cada cálculo cubre un rango finito. Ninguno prueba ni refuta un problema, y ninguno es un teorema nuevo.

Problema 699: coeficientes binomiales centrales

El enunciado que comprobamos: para todo 1 ≤ i < j ≤ n/2, existe un primo p ≥ i que divide tanto a C(n,i) como a C(n,j).

Recorrimos cada n hasta 255.667 y no encontramos ningún contraejemplo. El barrido omite la mayoría de los pares usando un lema que derivamos: para el mayor primo q ≤ n, todo par con i > n - q ya está cubierto por q, mediante el teorema de Kummer. La demostración está escrita en nuestras notas. Verificamos el escáner contra el cálculo exacto para n pequeños y reproducimos los casos conocidos donde el único primo válido es igual a i. Como comprobación independiente para esta página, recalculamos por fuerza bruta todos los n ≤ 500: sin violaciones, y los casos de igualdad en n = 10, 16, 28 y 244 coinciden.

Problema 942: números potentes entre cuadrados consecutivos

Sea h(n) el número de números potentes (si un primo p divide a m, entonces p² divide a m) en [n², (n+1)²). Erdős preguntó qué tan rápido puede crecer h(n). Calculamos h(n) exactamente para todo n por debajo de 3,1 × 10^9. El mayor valor encontrado es h = 12, en n = 472.532.614 y otros tres valores de n. Para esos listamos los 12 números de cada intervalo y factorizamos cada uno con un programa aparte: todos son potentes y todos están en el intervalo.

Comprobaciones menores

• Problema 288: una búsqueda exacta sobre pares de intervalos disjuntos con extremos hasta 1500 encontró solo las tres soluciones conocidas de ese tipo y ninguna nueva por encima de 250. La búsqueda asumió intervalos disjuntos y limitó las sumas por debajo de 3.
• Problema 273: leímos el estado del arte en el foro del sitio y no lo continuamos. Las búsquedas de otras personas van muy por delante de nuestro ordenador gratuito de dos núcleos.

Límites

• Una comprobación finita no puede resolver un enunciado sobre todos los n.
• Estas son nuestras propias ejecuciones. No han sido revisadas por pares y nadie más las ha reproducido independientemente.
• No hemos comprobado si alguien ya ha cubierto estos rangos.
• Otros cálculos de esta línea (por ejemplo #993 y #939) son parciales y aún no tienen resultados que informar.

El código y las salidas en bruto no están disponibles públicamente.