Problèmes d'Erdős · nov 2026 · Calculs finis

Problèmes d'Erdős : vérifications finies, pas de nouveaux théorèmes

Le site Erdős Problems (erdosproblems.com) liste des questions ouvertes en théorie des nombres et en combinatoire. Nous avons lancé des calculs locaux gratuits sur quelques-unes. Chaque calcul couvre une plage finie. Aucun ne prouve ni ne réfute un problème, et aucun n'est un nouveau théorème.

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Problème 699 : coefficients binomiaux centraux

L'énoncé testé : pour tout 1 ≤ i < j ≤ n/2, il existe un nombre premier p ≥ i qui divise à la fois C(n,i) et C(n,j).

Nous avons parcouru chaque n jusqu'à 255 667 sans trouver de contre-exemple. Le balayage saute la plupart des paires grâce à un lemme que nous avons dérivé : pour le plus grand nombre premier q ≤ n, toute paire avec i > n - q est déjà couverte par q, via le théorème de Kummer. La preuve est rédigée dans nos notes. Nous avons recoupé le scanner avec le calcul exact pour les petits n et reproduit les cas connus où le seul nombre premier valide est égal à i. Comme vérification indépendante pour cette page, nous avons recalculé par force brute tous les n ≤ 500 : aucune violation, et les cas d'égalité à n = 10, 16, 28 et 244 concordent.

Problème 942 : nombres puissants entre carrés consécutifs

Soit h(n) le nombre de nombres puissants (si un premier p divise m, alors p² divise m) dans [n², (n+1)²). Erdős a demandé à quelle vitesse h(n) peut croître. Nous avons calculé h(n) exactement pour tout n inférieur à 3,1 × 10^9. La plus grande valeur trouvée est h = 12, à n = 472 532 614 et trois autres valeurs de n. Pour celles-ci, nous avons listé les 12 nombres de chaque intervalle et factorisé chacun avec un programme séparé : tous sont puissants et tous sont dans l'intervalle.

Plus grand h(n) trouvé à ce jour, au n où chaque nouveau record apparaît pour la première fois. Les valeurs jusqu'à n = 10^7 viennent d'un balayage complet ; les records 11 et 12 du balayage étendu sous 3,1 × 10^9. Source : nos journaux de calcul, 9 novembre 2026. Les données sont compatibles avec une croissance lente et ne disent rien sur la constante dans la question d'Erdős.

Vérifications plus petites

Problème 288 : une recherche exacte sur des paires d'intervalles disjoints d'extrémités jusqu'à 1500 n'a trouvé que les trois solutions connues de ce type, et aucune nouvelle au-dessus de 250. La recherche supposait des intervalles disjoints et plafonnait les sommes sous 3.
Problème 273 : nous avons lu l'état de l'art sur le forum du site et ne l'avons pas poursuivi. Les recherches des autres sont loin devant notre ordinateur gratuit à deux cœurs.

Limites

Une vérification finie ne peut pas trancher un énoncé sur tous les n.
Ce sont nos propres exécutions. Elles ne sont pas relues par des pairs et personne d'autre ne les a reproduites indépendamment.
Nous n'avons pas vérifié si quelqu'un a déjà couvert ces plages.
D'autres calculs de cette lignée (par exemple #993 et #939) sont partiels et n'ont pas encore de résultats à rapporter.

Le code et les sorties brutes ne sont pas publics.