エルデシュ問題 · 2026年11月 · 有限計算

エルデシュ問題:有限のチェックであり、新定理ではない

Erdős Problemsサイト(erdosproblems.com)は数論と組合せ論の未解決問題を掲載している。我々はそのいくつかについて無料のローカル計算を実行した。各計算は有限範囲のみをカバーする。いずれも問題を証明・反証するものではなく、新定理でもない。

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問題699:中心二項係数

検証した主張:すべての 1 ≤ i < j ≤ n/2 について、C(n,i)とC(n,j)の両方を割り切る素数 p ≥ i が存在する。

n = 255,667まですべて調べたが、反例は見つからなかった。走査は我々が導いた補題によりほとんどのペアを飛ばす:最大の素数 q ≤ n について、i > n - q のすべてのペアはKummerの定理によりqで既にカバーされる。証明はノートに記載。小さなnで厳密計算と照合し、唯一有効な素数がiに等しい既知のケースを再現した。このページ用の独立チェックとして、n ≤ 500をすべて総当たりで再計算した:違反なし、n = 10、16、28、244の等号ケースも一致した。

問題942:連続する平方数の間のpowerful数

h(n)を[n², (n+1)²)内のpowerful数(素数pがmを割り切るならp²もmを割り切る数)の個数とする。エルデシュはh(n)がどれほど速く増大しうるかを問うた。我々は3.1 × 10^9未満のすべてのnについてh(n)を厳密に計算した。見つかった最大値はh = 12で、n = 472,532,614および他の3つのnで現れる。これらについて各区間の12個の数をすべて列挙し、別プログラムで1つずつ素因数分解した:すべてpowerful数であり、すべて区間内にある。

これまでに見つかった最大のh(n)。各新記録が初めて現れるnでプロット。n ≤ 10^7の値は全走査によるもので、記録11と12は3.1 × 10^9未満の拡張走査による。出典:我々の計算ログ、2026年11月9日。データは緩やかな増大と整合的だが、エルデシュの問いの定数については何も言わない。

小さなチェック

問題288:端点1500までの互いに重ならない区間ペアの厳密探索では、既知型の解3つのみが見つかり、250を超える新しい解はなかった。探索は互いに重ならない区間を仮定し、和を3未満に制限した。
問題273:サイトのフォーラムで最新状況を読み、追求しなかった。他の人々の探索は、我々の無料の2コアコンピュータを大きく上回っている。

限界

有限のチェックでは、すべてのnに関する主張を決着できない。
これらは我々自身の実行である。査読されておらず、他の誰も独立に再現していない。
これらの範囲がすでに誰かにカバーされているかは確認していない。
この系統の他の計算(例えば#993や#939)は部分的で、まだ報告できる結果がない。

コードと未加工の出力は公開されていない。