Erdősove problémy · nov 2026 · Konečné výpočty

Erdősove problémy: konečné kontroly, nie nové vety

Web Erdős Problems (erdosproblems.com) uvádza otvorené otázky z teórie čísel a kombinatoriky. Pri niekoľkých sme spustili bezplatné lokálne výpočty. Každý výpočet pokrýva konečný rozsah. Žiadny z nich problém nedokazuje ani nevyvracia a žiadny nie je nová veta.

Conceptual illustration generated with AI. Not experimental data or a depiction of the actual equipment.

Problém 699: centrálne binomické koeficienty

Tvrdenie, ktoré sme testovali: pre všetky 1 ≤ i < j ≤ n/2 existuje prvočíslo p ≥ i, ktoré delí C(n,i) aj C(n,j).

Prešli sme každé n do 255 667 a nenašli sme žiadny protipríklad. Kontrola preskakuje väčšinu párov pomocou lemmy, ktorú sme odvodili: pre najväčšie prvočíslo q ≤ n je každý pár s i > n - q už pokrytý q, cez Kummerovu vetu. Dôkaz je rozpísaný v našich poznámkach. Skener sme krížovo overili voči presnému výpočtu pre malé n a reprodukovali známe prípady, kde jediné vyhovujúce prvočíslo je i. Ako nezávislú kontrolu pre túto stránku sme hrubou silou prepočítali všetky n ≤ 500: žiadne porušenia a prípady rovnosti pri n = 10, 16, 28 a 244 sedia.

Problém 942: mocné čísla medzi po sebe idúcimi štvorcami

Nech h(n) je počet mocných čísel (ak prvočíslo p delí m, potom p² delí m) v intervale [n², (n+1)²). Erdős sa pýtal, ako rýchlo môže h(n) rásť. Vypočítali sme h(n) presne pre každé n pod 3,1 × 10^9. Najväčšia nájdená hodnota je h = 12, pri n = 472 532 614 a troch ďalších hodnotách n. Pre tie sme vypísali všetkých 12 čísel v každom intervale a každé rozložili samostatným programom: všetky sú mocné a všetky ležia v intervale.

Zatiaľ najväčšie nájdené h(n), pri n, kde sa každý nový rekord prvýkrát objaví. Hodnoty pre n do 10^7 pochádzajú z úplného prechodu; rekordy 11 a 12 z rozšíreného prechodu pod 3,1 × 10^9. Zdroj: naše výpočtové záznamy, 9. novembra 2026. Dáta sú konzistentné s pomalým rastom a o konštante v Erdősovej otázke nehovoria nič.

Menšie kontroly

Problém 288: presné prehľadanie párov disjunktných intervalov s krajními bodmi do 1500 našlo len tri známe riešenia daného typu a žiadne nové nad 250. Hľadanie predpokladalo disjunktné intervaly a obmedzilo súčty pod 3.
Problém 273: prečítali sme si stav poznania na fóre stránky a nepokračovali sme v ňom. Hľadania iných ľudí sú ďaleko pred naším bezplatným dvojjadrovým počítačom.

Limity

Konečná kontrola nemôže rozhodnúť tvrdenie o všetkých n.
Toto sú naše vlastné behy. Nie sú recenzované a nikto iný ich nezávisle nereprodukoval.
Neoverili sme, či tieto rozsahy už niekto pokryl.
Ďalšie výpočty z tejto línie (napríklad #993 a #939) sú čiastočné a zatiaľ nemajú výsledky na zverejnenie.

Kód a surové výstupy nie sú verejne dostupné.